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Unidad 1: Ecuaciones de Primer Grado y Sistemas Lineales

Fundamentos del álgebra lineal, desde la resolución de ecuaciones simples hasta sistemas de múltiples variables.

Ecuaciones de Primer Grado

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones que contienen elementos conocidos (datos) y desconocidos (incógnitas). En las ecuaciones de primer grado, la incógnita tiene exponente 1. El objetivo es encontrar el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea verdadera, a este valor se le llama solución.

Propiedades de la Igualdad

Para resolver una ecuación, la transformamos en ecuaciones equivalentes más simples usando estas propiedades:

  • Propiedad de la suma: Si se suma o resta la misma cantidad en ambos miembros de una ecuación, la igualdad se mantiene. \(A = B \implies A+c = B+c\)
  • Propiedad de la multiplicación: Si se multiplican o dividen ambos miembros de una ecuación por la misma cantidad (distinta de cero), la igualdad se mantiene. \(A = B \implies A \cdot c = B \cdot c\)

Ejemplo: Resolver \(5x + 7 = x - 5\)

  1. Agrupar términos: Mover los términos con \(x\) a un lado y las constantes al otro.
    \(5x - x = -5 - 7\)
  2. Simplificar: Combinar términos semejantes.
    \(4x = -12\)
  3. Despejar la incógnita: Dividir por el coeficiente de \(x\).
    \(x = \frac{-12}{4} \implies x = -3\)

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones de primer grado. La solución es el conjunto de valores que satisface todas las ecuaciones simultáneamente. Gráficamente, corresponde al punto de intersección de las rectas que cada ecuación representa.

\[ \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} \]

Métodos de Resolución

  • Sustitución: Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye su valor en la otra.
  • Igualación: Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones resultantes.
  • Reducción: Se multiplican las ecuaciones por números adecuados para que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos, y luego se suman las ecuaciones para eliminar esa incógnita.

Clasificación según su solución:

  • Compatible Determinado: Una única solución (las rectas se cortan).
  • Compatible Indeterminado: Infinitas soluciones (las rectas son la misma).
  • Incompatible: Sin solución (las rectas son paralelas).

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Ecuaciones de Primer Grado

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ejercicios de la Unidad 1

1. Un servidor tiene 64 GB de RAM en total. El sistema operativo consume 8 GB. Si cada instancia de una aplicación web consume 4 GB, ¿cuántas instancias puedes ejecutar?

Ecuación: 64 - 8 = 4x, donde x es el número de instancias

2. Un equipo de 10 programadores está formado por desarrolladores junior y senior. Los senior escriben 100 líneas de código al día y los junior 50. Si el equipo produce 700 líneas de código en un día, ¿cuántos desarrolladores senior y junior hay?

Sistema: s + j = 10 y 100s + 50j = 700

3. Resuelve la ecuación: 3x - 7 = 2x + 5

4. Una empresa de hosting cobra 15 dolares de instalación más 8 dolares por mes. Si el costo total después de cierto tiempo es 87 dolares, ¿cuántos meses de servicio se pagaron?

Unidad 2: Ecuaciones de Segundo Grado

Estudio de las ecuaciones polinómicas de grado 2 y sus representaciones gráficas como parábolas.

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Resolución de Ecuaciones

Las ecuaciones de segundo grado pueden ser completas (\(ax^2+bx+c=0\)) o incompletas (cuando \(b=0\) o \(c=0\)).

Fórmula General (Resolvente)

Para ecuaciones completas, las soluciones se obtienen con la fórmula:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

El discriminante, \(\Delta = b^2 - 4ac\), es clave. Determina el número de soluciones reales: si \(\Delta > 0\), hay dos soluciones; si \(\Delta = 0\), hay una solución doble; y si \(\Delta < 0\), no hay soluciones reales.

Ecuaciones Incompletas

  • Si \(b=0\): La ecuación es \(ax^2+c=0\). Se despeja \(x^2\) directamente: \(x = \pm\sqrt{-c/a}\).
  • Si \(c=0\): La ecuación es \(ax^2+bx=0\). Se saca factor común: \(x(ax+b)=0\), con soluciones \(x=0\) y \(x=-b/a\).

Función Cuadrática y su Gráfica

La función \(f(x) = ax^2 + bx + c\) representa una parábola. Sus elementos principales son:

  • Vértice: Es el punto mínimo (si \(a>0\)) o máximo (si \(a<0\)). Su coordenada x es \(x_v=\frac{-b}{2a}\).
  • Eje de simetría: Es la recta vertical que pasa por el vértice, \(x = x_v\).
  • Puntos de corte: El corte con el eje Y es en \((0, c)\). Los cortes con el eje X son las soluciones de \(ax^2+bx+c=0\).

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Ecuación de Segundo Grado

Función Cuadrática

Ejercicios de la Unidad 2

1. Resuelve la ecuación cuadrática: \(x^2 - 5x + 6 = 0\)

Usa la fórmula general o factorización

2. El rendimiento de un procesador al aumentar su frecuencia \(f\) (en GHz) se modela por \(R(f) = -2f^2 + 12f\). ¿En qué frecuencia se alcanza el rendimiento máximo?

El vértice de la parábola está en \(f = -\frac{b}{2a}\)

3. Una pelota se lanza hacia arriba y su altura (en metros) está dada por \(h(t) = -5t^2 + 20t + 1\), donde t es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?

4. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación \(2x^2 - 4x + 5 = 0\)?

Calcula el discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\)

Unidad 3: Matrices

Introducción a las matrices, sus operaciones fundamentales y el concepto de matriz inversa.

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Operaciones con Matrices

Las matrices permiten organizar datos y realizar operaciones complejas de forma estructurada. Las operaciones básicas son la suma, el producto por un escalar y el producto de matrices.

Producto de Matrices

El producto \(A \cdot B\) solo es posible si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. El elemento en la fila \(i\), columna \(j\) del resultado se obtiene multiplicando la fila \(i\) de A por la columna \(j\) de B. Esta operación no es conmutativa.

Dadas \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \):

\[ A \cdot B = \begin{pmatrix} (1\cdot5 + 2\cdot7) & (1\cdot6 + 2\cdot8) \\ (3\cdot5 + 4\cdot7) & (3\cdot6 + 4\cdot8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} \]

Matriz Inversa (\(A^{-1}\))

Solo las matrices cuadradas con determinante no nulo (regulares) tienen inversa. La matriz inversa \(A^{-1}\) es aquella que cumple \(A \cdot A^{-1} = I\), donde \(I\) es la matriz identidad. Es fundamental para resolver sistemas de ecuaciones lineales en forma matricial.

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Introducción a Matrices

Producto de Matrices

Ejercicios de la Unidad 3

1. Calcula el producto de matrices: \(A \cdot B\) donde \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) y \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

2. En un videojuego, la posición de un personaje es \((x, y) = (3, 5)\). Para rotarlo 90° en sentido antihorario, se multiplica por la matriz de rotación \(R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). ¿Cuál es la nueva posición \((x', y')\)?

3. ¿Cuál es el determinante de la matriz \(C = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\)?

Para una matriz 2×2: det(C) = ad - bc

4. Una transformación lineal en gráficos por computadora usa la matriz \(T = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\). ¿Qué efecto tiene sobre un punto?

Unidad 4: Funciones

Exploración de los diferentes tipos de funciones y sus aplicaciones.

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Clasificación de Funciones

Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto de entrada (dominio) un único elemento de un conjunto de salida (rango). Se clasifican según su estructura algebraica.

Algebraicas

  • Polinómicas: \(f(x) = a_n x^n + ... + a_0\).
  • Racionales: \(f(x) = P(x) / Q(x)\).
  • Irracionales: Contienen la variable bajo un radical.

Trascendentes

  • Exponenciales: \(f(x) = a^x\).
  • Logarítmicas: \(f(x) = \log_a(x)\).
  • Trigonométricas: \(f(x) = \sin(x)\), etc.

Interpolación y Extrapolación

Son métodos para estimar valores desconocidos a partir de datos conocidos. La interpolación estima valores *dentro* del rango de datos, mientras que la extrapolación estima valores *fuera* del rango, lo cual es generalmente menos preciso pero útil para proyecciones.

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¿Qué es una Función?

Tipos de Funciones

Ejercicios de la Unidad 4

1. El costo de un servicio en la nube es de $10 fijos al mes más $0.02 por cada GB almacenado. ¿Qué función \(C(g)\) representa el costo mensual para almacenar \(g\) gigabytes?

Función lineal: costo fijo + costo variable

2. ¿Cuál de las siguientes es una función exponencial?

3. Una población de bacterias crece según \(P(t) = 100 \cdot 2^t\), donde t es el tiempo en horas. ¿Cuál será la población después de 3 horas?

4. Dados los puntos (1, 3) y (4, 9), usa interpolación lineal para estimar el valor de y cuando x = 2.5

Fórmula: \(y = y_1 + \frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\)

5. ¿Cuál es el dominio de la función \(f(x) = \frac{1}{x-2}\)?